Как определить периодичность функции

На уроках математики в школе все помнят синусоидальный график, который плавными волнами уходит вдаль. Многие другие функции обладают аналогичным свойством: повторять через определенный интервал. Их называют периодическими изданиями. Периодичность — очень важная особенность функции, которая часто встречается в различных задачах. Следовательно, полезно иметь возможность определять, является ли функция периодической.

Как определить частоту функции

Инструкции

1 Если F (x) является функцией аргумента x, то мы называем периодическим, если существует такое число T, что для любого x F (x + T) = F (x). Это число T называется периодом функции.

Периодов может быть несколько. Например, функция F = const для любого значения аргумента принимает одно и то же значение, и поэтому ее периодом можно считать любое число.

Обычно математику интересует наименьший ненулевой период функции. Для краткости она называется просто точкой.
2 Классическим примером периодических функций является тригонометрическая функция: синус, косинус и тангенс. Их период одинаков и равен 2π, то есть sin (x) = sin (x + 2π) = sin (x + 4π) и так далее. Однако, конечно, тригонометрические функции — не единственные периодические.
3 Относительно простые базовые функции, единственный способ установить их периодичность или непериодичность — это произвести вычисления. Но для сложных функций уже существуют некоторые простые правила.
4 Если F (x) — периодическая функция с периодом T и для нее определена производная, то эта производная f (x) = F ′ (x) также является периодической функцией с периодом T. В конце концов, значение Производная la в точке x равна наклону касательной графика ее примитива в этой точке к оси абсцисс, а поскольку первообразная периодически повторяется, производная также должна повторяться. Например, производная sin (x) равна cos (x) и является периодической. Взяв производную от cos (x), вы получите –sin (x). Периодичность остается неизменной.

Однако не всегда верно обратное. Таким образом, функция f (x) = const периодична, а ее примитив F (x) = const * x + C — нет.
5 Если F (x) — периодическая функция с периодом T, то G (x) = a * F (kx + b), где a, b и k — константы, а k не равно нулю, также является периодической функцией, и его период равен T / k. Например, sin (2x) — периодическая функция с периодом π. Это можно четко представить следующим образом: умножая x на число, вы, кажется, сжимаете график функции по горизонтали ровно столько раз
6 Если F1 (x) и F2 (x) — периодические функции и их периоды равны T1 и T2 соответственно, то сумма этих функций также может быть периодической. Однако его период не будет простой суммой периодов T1 и T2. Если результатом деления T1 / T2 является рациональное число, сумма функций является периодической, а ее период равен наименьшему общему кратному (НОК) периодов T1 и T2. Например, если период первой функции равен 12, а период второй — 15, период их суммы будет равен LCM (12, 15) = 60.

Это наглядно можно представить следующим образом: функции имеют разную «ширину шага», но если соотношение их ширины будет рациональным, рано или поздно (точнее, точно через НОК шагов) они снова уравняются, и их Сумма начнет новый период.
7 Однако, если соотношение периодов иррационально, то итоговая функция вообще не будет периодической. Например, пусть F1 (x) = x mod 2 (остаток от деления x на 2) и F2 (x) = sin (x). T1 здесь будет равно 2, а T2 будет равно 2π. Соотношение периодов равно — иррациональному числу. Следовательно, функция sin (x) + x mod 2 не является периодической.

Поделиться:
×
Рекомендуем посмотреть