Как найти углы треугольника по трем его сторонам

Треугольник — это геометрическая фигура с тремя сторонами и тремя углами. Найти все эти шесть элементов треугольника — одна из задач математики. Если вам известны длины сторон треугольника, то с помощью тригонометрических функций можно вычислить углы между сторонами.

Как найти углы треугольника по трем сторонам

Тебе понадобится

  • базовые знания тригонометрии

Инструкции

1 Пусть дан треугольник со сторонами a, b и c. В этом случае сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше, чем длина третьей стороны, то есть a + b> c, b + c> a и a + c> b. И необходимо найти в градусах все углы этого треугольника. Обозначим через α угол между сторонами a и b, угол между b и c и γ угол между c и a.
2 Теорема косинусов выглядит так: квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов двух других длин его сторон за вычетом двойного произведения этих длин сторон на косинус угла между ними. То есть создайте три равенства: a² = b² + c² — 2 × b × c × cos (β); b² = a² + c² — 2 × a × c × cos (γ); c² = a² + b² — 2 × a × b × cos (α).
3 Из полученных равенств выразите косинусы углов: cos (β) = (b² + c² — a²) ÷ (2 × b × c); cos (γ) = (a² + c² — b²) ÷ (2 × a × c); cos (α) = (a² + b² — c²) ÷ (2 × a × b). Известные косинусы углов треугольника, чтобы найти сами углы, используйте таблицы Брадиса или выведите косинусы дуг из этих выражений: β = arccos (cos (β)); γ = arcos (cos (γ)); α = arcos (cos (α)).
4 Например, пусть a = 3, b = 7, c = 6. Тогда cos (α) = (3² + 7² — 6²) ÷ (2 × 3 × 7) = 11/21 и α≈58,4 °; cos (β) = (7² + 6² — 3²) ÷ (2 × 7 × 6) = 19/21 и β≈25,2 °; cos (γ) = (3² + 6² — 7²) ÷ (2 × 3 × 6) = — 1/9 и γ≈96,4°.
5 Эту же задачу можно решить другим способом через площадь треугольника. Сначала найдите половину периметра треугольника по формуле p = (a + b + c) ÷ 2. Затем вычислите площадь треугольника, используя формулу Герона S = √ (p × (p — a) × (p — b) × (p — c)), т е площадь треугольника равна квадратному корню из произведения полупериметра треугольника и разностей полупериметра и каждой стороны треугольника.
6 С другой стороны, площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон на синус угла между ними. Получается, что S = 0,5 × a × b × sin (α) = 0,5 × b × c × sin (β) = 0,5 × a × c × sin (γ). Теперь по этой формуле выразите синусы углов и подставьте значение площади треугольника, полученное на шаге 5: sin (α) = 2 × S ÷ (a × b); sin (β) = 2 × S ÷ (b × c); sin (γ) = 2 × S ÷ (a × c). Поэтому, зная синусы углов, чтобы найти меру градусов, воспользуйтесь таблицами Брадиса или вычислите арксинусы этих выражений: β = arccsin (sin (β)); γ = арксинус (синус (γ)); α = арксинус (синус (α)).
7 Например, предположим, что вам назначен тот же треугольник со сторонами a = 3, b = 7, c = 6. Полупериметр равен p = (3 + 7 + 6) ÷ 2 = 8, площадь S = √ (8 × (8-3) × (8-7) × (8-6)) = 4√5. Тогда sin (α) = 2 × 4√5 ÷ (3 × 7) = 8√5 / 21 и α≈58,4 °; sin (β) = 2 × 4√5 ÷ (7 × 6) = 4√5 / 21 и β≈25,2 °; sin (γ) = 2 × 4√5 ÷ (3 × 6) = 4√5 / 9 и γ≈96,4°.

Поделиться:
×
Рекомендуем посмотреть